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Discussion Starter · #1 ·
讨论那个汉字的帖子,就讨论到中国古代的科学了,我就想贴点中国古代数学的东西,但是这些内容就和那个汉字的帖子偏离了,所以我单独开新贴.

1.甲骨文中的数字

  商代(1500BC~1000BC)甲骨文表明,当时已有比较完整的数字系统.从1到10的每个整数,以及100,1000,10000,都有相应的符号表示:


十、百、千、万的倍数多用合文,例如10的倍数


在甲骨文中,最大的数是三万.人们能表示三万以内的任何自然数(也许更多).甲骨文中的数字,大部分联系着实物,如五十犬,三十羊.也有一些甲骨上的数字是独立出现的,人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数,没有和实物连在一起,说明商代已经有了抽象的自然数概念

 2.记数和运算

  商代数学中,十进制已相当完善了.

  对甲骨文的研究表明,商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了,遗憾的是不知道他们的具体算法,因为甲骨文记录的只是运算结果,而没有运算过程.

  周代记数法与商代相比,有---个明显的进步,就是出现了位值记数.如20世纪70年代出土的一个中山国铜灯铭文中,355记作
,末位的五表示个位五,而前一个五表示五十,两个五间没有用十隔开.这说明当时已有了位值的观念,只是应用不多,还未形成系统的制度.
 

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Discussion Starter · #2 ·
3.干支纪年法

  六十循环的“天干地支”记数法,是商代数学的又一个成就.这种方法主要用于历法,可称干支纪年法.天干有10个,即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;地支有12个,即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干与地支相配,共得60个不同单位---以甲子开始,以癸亥告终.然后又是甲子,如此循环不断.中国农历至今还使用这种方法.

人们在商代甲骨文和西周金文的基础上,逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上,用绳子穿成册,这就是早期的书.写上字的竹片称为简,或竹简.春秋战国的大批数学成果,便是通过竹简流传下来的.

1.几何与逻辑

  《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试.《墨经》是以墨翟(约公元前490---前405)为首的墨家学派的著作,包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题.它试图把形式逻辑用于几何研究,这是该书的显著特色.在这一点上,它同欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)《几何原本》相似,一些几何定义也与《原本》中的定义等价.下面略举几例:

  (1)“平,同高也”---两线间高相等,叫平.这实际是平行线的定义.

  (2)“同长,以正相尽也”---如果两条线段重合,就叫同长.

  (3)“中,同长也”---到线段两端的距离相同的点叫中(点).

  (4)“圆,一中同长也”---到一个中心距离相同的图形叫圆.

  《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义,这些图形的名称分别为端、尺、区.在研究线的过程中,墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义:“或不容尺,有穷;莫不容尺,无穷也.”即:用线段去量一个区域,若能达到距边缘不足一线的程度,叫有穷;若永远达不到这种程度,叫无穷.

  《墨经》中还有一条重要记载:“小故,有之不必然,无之必不然.大故,有之必然.”用现代语言说,大故是“充分条件”而小故则是“必要条件.”大故和小故的区分,在哲学史和数学史上都是十分重要的事件.

  可惜的是,随着墨家的衰落,墨家数学理论在形成体系之前便夭折了.

2.算术

  到公元前四、五世纪时,分数已在中国广泛应用了,有些分数还有

  春秋战国时代,“九九歌”(乘法口诀表)已是家喻户晓的常识了.《管子》等书中便记载着九九歌诀,顺序与今不同,是从“九九八十一”起,到“一一如一”止.至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序,则是宋元时代的事情了.
 

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Discussion Starter · #3 ·
3.对数学中“无限”的认识

  有限与无限的矛盾,是数学中的一对基本矛盾.对这一问题认识的不断深化,推动着古今数学的发展.

  据战国时成书的《庄子》记载,惠施曾提出“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一”的观点.其中“大一”、“小一”可理解为无穷大,无穷小.这段话的意思是:大到没有外部,称为无穷大;小到没有内部,称为无穷小.书中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的著名命题,可以看作是对“小一”的发挥.一尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取剩下那一半的一半,如此不断地取下去,



同《庄子》一样,《墨经》中也讨论了分割物体的问题.但墨家反对物质的无限可分.他们认为,如果把一条线段分成前后两半(比如以左为前,以右为后),保留前半而弃去后半(图4.4中OB),再弃去前半的后半(即CO),如此不断地分割和取舍,剩余部分小到不能再分为两半,就是端(A点).如果采用前后取的办法,即第一次取线段前半,第二次取前半的后半,第三次取后半的前半,……取到最后,也会出现一个不可分割的端,这个端在线段中间而不在边缘(位于CO之间),这就是《墨经》所云“前则中无为半,犹端也;前后取,则端中也”.很明显,这种思想与近代极限理论是相符的.数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似.所以,我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型,其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想.

 

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Discussion Starter · #4 ·
4.组合数学的萌芽

  组合数学虽是现代数学的分支,它的思想却可以追溯到遥远的古代.春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽.

  《易经》是中国最古老的书籍之一,书中通过阴阳卦爻预言吉凶.“--”是阳爻,“--”是阴爻,合称“两仪”.每次取两个,按不同顺序排列,生成“四象”;每次取三个,生成八卦(图4.5);每次取六个,则生成六十四卦.四象、人卦与六十四卦的排列,相当于组合数学中的有重排列:从n种元素中每次取r个,共有nr种排列法.例如,在两种卦爻中每次取3个,共有23=8种排列,这就是八卦.



德国数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646---1716)发明二进制后不久,见到了传教士白晋(J.Bouvet,1656---1730)从中国寄去的八卦.莱布尼茨认为,八卦中蕴含着二进制思想,因此惊叹不已.实际上,若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替,八卦就可表示为

  000(坤) 001(震) 010(坎) 011(兑)

  100(艮) 101(离) 110(巽) 111(乾)

  莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”,这项发明“对于中国人民实在是值得庆幸的事情”.
 

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Discussion Starter · #5 ·
5.早期的数学工具---算筹与规、矩

  算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹),它是中国人创造的计算工具.春秋战国时代,算筹的使用已相当普遍,书中多有记载,如“孟子持筹而算之”(《十发》),“善计者不用筹策”(《老子》),等等.1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒,内装竹棍40根,长短一致,约12厘米,是为算筹之实物.

  用筹进行计算称为筹算.据文献记载,筹式有纵横两种:



(图中第一行为纵式,第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间,从右到左:个位为纵,十位为横,百位为纵,千位为横……,遇零则空位.例如2561摆成
筹算加减法与今珠算类似,从左到右逐位相加或相减即可.筹算乘除法的步骤稍微复杂一些.二数相乘(如48×36)时,先用筹摆一数于上,一数于下,并使下数的末位和上数首位对齐(图4.6(1)),按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位,把乘得的积摆在上下二数中间(图4.6(2)),然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图4·6(3)),再以上数第二位乘下数各位,加入中间的乘积,并去掉上数第二位(图4.6(4)).直到上数各位用完,中间的数便是结果.筹算除法也分三层,上层是商;中层是被除数,叫实;下层是除数,叫法.


算筹在中国数学史上占有非常重要的地位,在长达两千年的时间里,算筹一直是中国的主要计算工具,直到元明时代才逐渐被珠算所代替.

  筹算的优点是简便、灵活,用一些小竹木棍便可进行复杂的计算.它的缺点是中间步骤不能保留,因此不便于检验.另外,过分依赖于算具,也不利于数学的符号化和抽象化.

  规、矩是两种测绘工具.规即圆规,矩是直角拐尺,用来画直线形.商代甲骨文中已有规和矩的象形字,所以它们最迟在商代已经出现.春秋战国时期,这两种工具被普遍用于测量和几何作图.
 

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Discussion Starter · #6 ·
《周髀》是西汉(200BC~1AC)初期的一部天文、数学著作.髀是量日影的标杆(亦称表),因书中记载了不少周代的天文知识,故名《周髀》.唐初凤选定数学课本时,取名《周髀算经》.
1.勾股定理

  在中国,《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书.该书云:“求邪(斜)至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,




2.等差数列

  《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列.七衡是七个等距离的



里,书中给出计算各圆径的一般法则:“欲知次衡径,倍而增内衡之径.二之以增内衡径,得三衡径.次衡放(仿)此.”这相当于给出通项公式

  Dn=D1+(n-1)·2d,

  其中d为相邻两圆间的距离.

3.内插法

  所谓内插法,是已知若干自变量所对应的函数值,求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法,古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度,为制订历法服务.内插分两种---等间距内插和不等间距内插.等间距指的是自变量的间距相等.设自变量x,等间距h,函数关系为f,若函数值之差 f(x+nh)-f(x+(n-1)h)(即一次差,其中n=1,2,…)为一不等于0的常数,则用一次内插法;若这些函数值之差的差(即二次差)为一不等于0的常数,则用二次内插法,依此类推.用现代数学的观点来看,n次内插法反映的是n次函数关系.

  《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法.已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影①长,推算其他节气的日影长.假定每两个节气的时间间隔相等,并以f(a),f(b)表示夏至及冬至的日影长,则有



其中f(n)是从夏至到冬至的第n
个节气的日影长,Δ被称为损益数.
 

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Discussion Starter · #7 ·
4.相似形与测量术

  《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”:“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方.”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线,第五、六句是用矩画圆、画方的方法.第二、三、四句是相似直角三角形的应用:把矩的一边垂直向上去测量高度,把矩的一边垂直向下测量深度,把矩平放去测量地面上两点间距离.下面以第二句为例说明测量方法:设AB为矩的一边,BC是矩的另一边由顶点到视线的一段,AD为图4.8所示之可测距离,DE



其中显然用到了相似原理,可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了.
 

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Discussion Starter · #8 ·
《九章算术》
一、成书背景


  中国数学经过长期积累,到西汉时期已有了相当丰富的内容.除《周髀算经》外,西汉初期出现了第一部数学专著---《算术书》,用竹简写成.全书共60多个标题,如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等,标题下列有各种问题.《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响.另外,从甘肃居延等地出土的竹简发现,西汉已有初步的负数及比例概念,面积和体积计算的知识也增多了.这些都为我国初等数学体系的形成准备了条件.

   《许商算术》和《杜忠算术》是《九章算术》之前不久成书的著作.许商,长安人,公元前32---前8年曾任西汉大司农、河堤都尉等官职.他参加过治水工作,精通天文历法和计算,著《许商算术》26卷.杜忠与许商同时代,著《杜忠算术》16卷.

  现传本《九章算术》约成书于西汉末年,作者不详,可能经多人之手而成.它是一部承前启后的著作,一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果,集当时初等数学之大成;另一方面又对后世数学发展产生了深远的影

二、内容与体例


  《九章算术》包括丰富的算术、代数和几何内容,全书共246题,几乎全是应用题.这些问题按不同的用途分为九卷,故名《九章算术》.下面简介各卷内容.

   卷一“方田”,38问,主要讲平面图形的计算,包括系统的分数算法.

   卷二“粟米”,46问,粮食交换中的比例问题.

   卷三“衰(cuī)分”,20问,比例算法在分配物资等问题中的应用.

   卷四“少广”,24问,开平方、开立方问题.

   卷五“商功”,28问,土木工程中的体积计算.

   卷六“均输”,28问,主要讲纳税和运输方面的计算问题,实际是比较复杂的比例算法.

   卷七“盈不足”,20问,算术中盈亏问题的解法.

   卷八“方程”,18问,主要讲线性方程组解法,还论及正负数概念及运算方法.

   卷九“勾股”,24问,勾股定理的应用.

  书中的各类问题都有统一解法,但没有证明.经后人验证,这些解法的绝大部分是正确的.各法以“术”名之,术文统御习题,这是本书体例的基本特点.例如,方田术“广从步数相乘得积步”,勾股术“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,便分别统御各方田问题及勾股问题.
 

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Discussion Starter · #9 ·
三、数学成就

  1.算术

  (1)分数运算

  《九章算术》方田章系统给出了分数四则运算法则,以及通分、约分、化带分数为假分数的方法,其步骤与现代一致.



分子、分母有公约数时,可利用公约数来化简分数.《九章算术》提出一种“更相减损”法来求最大公约数:“副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也.”即用分子和分母中的大数减去小数,互相减,减到余数与减数相等为止,该数便是原来两数的最大公约数.然后


(1),从91减去49余42,如图4.9(2);从49减去42余7,如图4.9(3);从42依次减去7,到第5次余7,如图4.9(4).


谓“欧几里得算法”在本质上是一样的.

  (2)比例算法

  《九章算术》的二、三、六、九各卷中,广泛使用比例算法来解决应用问题,并给出一般法则:“以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一.”即


这是由比例式

  所求数:所有数=所求率∶所有率

  得出的.书中称该算法为“今有术”,大概是因为这类问题的开头常冠以“今有”二字.例如:“今有丝一斤价值二百四十钱,今有钱一千三百二十八,问得丝几何?”依法列式



除了这种最简单的比例问题外,书中还有连比例、复比例、配分法等复杂的比例问题.例如:“今有贷人千钱,月息三十.今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?”这便是一个复比例问题,其中9日乘750钱为所有数,30钱为所求率,30日乘1000钱为所有率.实际上,《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容.

  (3)盈不足术

  《九章算术》卷七专讲盈亏问题,解法称为盈不足术.例如:“人出八盈三,人出七不足四,求人数、物价各多少?”设每人出钱a1,盈b1;每人出钱a2,不足b2,人数为m,物价为n,则有



这就是盈不足术的现代形式,其中各字母都是正数,分母也是正数.若a1<a2,则分母为a2-a1.将例题中数字代入,则



这种方法的正确性很容易用现代解方程组的行列式法验证.
 

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Discussion Starter · #10 · (Edited)
2.代数

  (1)开方

  《九章算术》中载有开平方、开立方的方法.例如,欲求55225的平方根,摆筹式如图4.10(1)(改用阿拉伯数码表示),其中55225叫“实”(被开方数),最下面的1叫“借算”,代表最高项系数.此式实际上表示方程(由于上下标问题,所以修改了式子,用一些汉字说明)

  x的平方=55225.
  将“借算”向左移动,每一步移二位,移二步后停住,如图(2).于是,原方程变为

  10000倍x1的平方=55225.

  议得x1大于2小于3,就在实的百位上置2,作为平方根的第一位数.以议得的2乘10000得20000,放在实之下,借算之上,叫法.再以2乘法得40000,从实中减去,余15225,如图(3).

  把法加倍,向右移一位,变为4000,叫定法.把借算向右移二位,变为100,如图(4),这相当于方程

  100倍x2的平方+4000倍x的平方=15225.

  议得x2大于3而小于4,就以3为平方根的十位数.以3乘100得300,加入定法得4300;以3乘4300,从实中减去,余2325,如图(5).

  再以300与4300相加,得4600,向右移一位变为460,这是第三位方根的定法.把借算向右移二位,变为1;如图(6).这相当于方程

  x3的平方+460倍x3=2325.

  议得x3=5为平方根的个位,以5乘借算1,加入460得465.以5乘465,从实内减去,恰尽,得55625的平方根235,如图(7).



从文字叙述来看,筹算开方法似乎很繁,实际摆筹运算是相当简便的.这种方法到宋代发展为增乘开方法,对高次方程解法产生了巨大影响.

  (2)正负数

  《九章算术》中不仅有正负数,而且还建立了正负数加减法则,即“正负术”.加法法则为:“异名相除,同名相益;正无入正之,负无入负之.”即异号两数相加,绝对值相减;同号两数相加,绝对值相加;0加正数为正,0加负数为负.类似地有减法法则:“同名相除,异名相益;正无入负之,负无入正之.”

  (3)线性方程组



《九章算术》中的“方程”,实际是线性方程组.例如卷八第一题:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上中下禾实一秉各几何?”(禾即庄稼,秉即捆,实即粮食.)依术列筹式如图4.11,它相当于三元一次方程组


其中x
y,z分别为上中下三等

  禾每捆打粮食的斗数.按《九章

算术》解法,用(1)式x的系数3去乘(2)的各项,得
  6x+9y+3z=102. (4)

  用(4)减(1)二次,得

  5y+z=24. (5)

  再用(3)×3,得

  3x+6y+9z=78. (6)

  (6)减(1),得

  4y+8z=39. (7)


中把这种方法叫“直除法”,即连续相减法.它的原理与现在加减消元法一致,只是比较烦琐.

  《九章算术》中还有一道“五家共井”题,是说五户人家共用一口井,各家都有提水的绳子但都不够长,甲户的两条与乙户的一条合起来够用,乙户的三条和丙户的一条合起来够用,丙户的四条与丁户的一条合起来够用,丁户的五条与戊户的一条合起来够用,戊户的六条与甲户的一条合起来够用,问井深和各户的“一绳之长”.假定五户绳长依次为x,y,z,u,v,井深为a,则有



该方程组有五个方程,六个未知数,所以是不定方程组.书中给出了它的一组解.
 

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3.几何

  《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式.圆的面积公式有三个,即

其中c为周长,d为直径,取圆周率为3.

  书中的体积公式很多,包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台,其体积公式都与今一致.还给出一种比较复杂的几何体---刍童,即上下底面都是长方形的拟台体(图4.12)的体积公式







九章算术》对勾股定理的应用很广泛.它首先给出勾股定理的三种形式,即


然后解决了几十个应用题.例如:“今有圆材不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”(图4.13)以r为圆半径,由勾股定理得

  r的平方=5的平方+(r-1)的平方,

  解得r=13,倍之即圆径.


在讨论勾股定理的过程中,《九章算术》提供了许多整勾股数,如5的平方+12的平方=13的平方等.
 

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《九章算术注》作者刘徽是三国时代(184~265)魏国人,籍贯山东,生卒年不详,约死于西晋初年.刘徽出身平民,终生未仕,被称为“布衣”数学家.

刘徽在童年时代学习数学时,是以《九章算术》为主要读本的,成年后又对该书深入研究,于公元263年左右写成《九章算术注》,刘徽自序说:“徽幼习《九章》,长再详览.

  观阴阳之割裂,总算术之根源.探赜之暇,遂悟其意,是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注.”刘徽在研究《九章算术》的基础上,对书中的重要结论一一证明,对其错误予以纠正,方法予以改进,并提出一些卓越的新理论、新思想.《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产,是中国传统数学理论研究的奠基之作.

  刘徽还著有《重差》一卷,专讲测量问题.他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷,唐代初年改为单行本,并将书名改作《海岛算经》,流传至今.
 

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1.算术

  (1)十进分数

  刘徽之前,计算中遇到奇零小数时,就用带分数表示,或者四舍五入.刘徽首创十进分数,用以表示无理根的近似值.这种记数法与现代


刘徽用忽来表示,但a后各位就不必再命名了,刘徽称它们为“微数”,说:“微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母.退之弥下,其分弥细.”这种方法,与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致,即



其中a1,a2,…,an是0至9之间的一位整数.

  (2)齐同术

  《九章算术》中虽有分数通分的方法,但没有形成完整理论,刘徽提出齐同术,使这一理论趋于完善.他说:“凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同.”又进一步提出通分后数值不变的理论依据,即“一乘一除,适足相消,故所分犹存“法实俱长,意亦等也”.前句话的意思是,一个分数用同一个(非零)数一乘一除,其值不变;后句话的意思是,分数的分子、分母扩大同一倍数,分数值不变.刘徽指出,“同”即一组分数的公分母,“齐”是由“同”而来的,是为了使每个分数值不变.另外,刘徽还将齐同术引而伸之,用来解释方程及盈不足问题.

  2.代数

  (1)对正负数的认识

  《九章算术》成书后,正负数的运算越来越广泛,但究竟应该如何认识正负数,却很少有人论及.刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义:“今两算得失相反,要令正负以名之.”就是说以正负数表示得失相反的量.他还进一步阐述正负的意义:“言负者未必负于少,言正者未必正于多.”即负数绝对值未必少,正数绝对值未必大.另外,他又提出筹算中表示正负数的两种方法:一种是用红筹表正数,黑筹表负数;再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数.这两种方法,对后世数学都有深远影响.

  (2)对线性方程组解法的改进

  《九章算术》中用直除法解线性方程组,比较麻烦.刘徽在方程章的注释中,对直除法加以改进,创立了互乘相消法.例如方程组



刘徽是这样解的:

  (1)×2,(2)×5,得



(4)-(3),得

  21y=20(下略).

  显然,这种方法与现代加减消元法一致,不过那时用的是筹算.刘徽认为,这种方法可以推广到多元,“以小推大,虽四、五行不异也.”他还进一步指出,“相消”时要看两方程首项系数的同异,同则相减,异则相加.刘徽的工作,大大减化了线性方程组解法.

  (3)方程理论的初步总结

  刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上,提出了比较系统的方程理论.刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思,相当于现在的方程,而“方程”则相当于现在的方程组.他说:“二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,故谓之方程.”这就是说:“有两个所求之物,需列两个程;有三个所求之物,需列三个程.程的个数必须与所求物的个数一致.诸程并列,恰成一方形,所以叫方程.”这里的“物”,实质上是未知数,只是当时尚未抽象出未知数的明确概念.定义中的“皆如物数程之”是十分重要的,它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”,共同构成了方程组有唯一组解的条件.若译成现代数学语言,这两条即:方程个数必须与未知数个数一致,任意两个方程的系数不能相同或成比例.刘徽还认识到,当方程组中方程的个数少于所求物个数时,方程组的解不唯一;如果是齐次方程组,则方程组的解可以成比例地扩大或缩小,即“举率以言之”.

  对于方程组的性质,刘徽总结出如下诸条:“令每行为率”,即方程各项成比例地扩大或缩小,不改变方程组的解;“每一行中,虽复赤黑异算,无伤”,即方程各项同时变号,不改变方程组的解;“举率以相减,不害余数之课也,即两方程对应项相减,不改变方程组的解.很明显,刘徽对于线性方程组的初等变换,已经基本掌握了.不过,他没有考虑交换两个方程的位置,因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解,而且调换算筹的位置是不方便的.
 

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3.几何

  (1)割圆术

  刘徽以前,一般采用周三径一的圆周率,这是很不精确的.刘徽在《九章算术注》中指出:周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值,不是圆周与直径的比值.他认为圆内接正多边形的边数越多,其面积就越接近圆面积.他从这一思想出发,创立了科学的求圆周率方法---割圆术.具体来说,就是以1尺为半径作圆,再作圆内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积.刘徽之所以选半径为1,是为了使圆面积在数值上等于圆周率,从而简化运算.他利用公式



(ln为内接正n边形边长,S2n为内接正2n边形面积)
来求各正多边形面积.至于正多边形边长,他是反复利用勾股定理来求的.例如,由以下三式即可求得正12边形边长(图4.14):



TR=OR-OT,




后,便根据

S192<S<S192+(S192-S96)
得到


刘徽舍弃分数部分,取圆面积为314平方寸,从而得到π=3.14
这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值,刘徽对这一点是很清楚的.不过,他根据当时的需要,运算中只取到两位小数.

  割圆术的创立是数学史上的一件大事.古希腊的阿基米德(Archimedes,公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率,他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆,比刘徽的方法麻烦一些.刘徽的成就晚于阿基米德,但是独立取得的.
 

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(2)几何定理的证明

  刘徽采用出入相补原理,证明了《九章算术》中许多几何公式和定理.例如,他在证明三角形面积公式时,思路如下:把三角形的高h二



自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也,合成弦方之幂.”可惜的是原图失传,所以不知刘徽怎样“出入相补”.
后人根据这段文字补了一张图。


只要把图中朱方(a2)的I移至I′,青方的II移至II′,III移至III′,则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c2 ).由此便可证得a2+b2=c2



 刘徽在研究立体几何时,发现“邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也”.即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·16中DEFC),则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一.”为叙述方便,我们称之为阳马定理.刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理,然后用它证明了各种多面体的体积公式.另外,他还发现了一条重要原理:对两个等高的立体,若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数,则这两立体的体积之比也等于该常数.这一原理可称为“刘徽原理”.在《九章算术注》中,刘徽多次运用了这一原理,例如,圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4.书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导,都是以刘徽原理为依据的.
 

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(3)对球体积的研究

  刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确,试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式.他首先作球的外切立方体,然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4.17).于是,球便被包在两圆柱相交的公共部分,而且与圆柱相切.刘徽只保留两圆柱的公共部分,取名“牟合方盖”.(图4.18)根据刘徽原理,球体积与牟合方盖体
体积,整个问题就迎刃而解了.刘徽没有成功,只好“以俟能言者”.但他的思路正确,为后人解决这一问题打下了基础.


4.刘徽的极限观念

  从《九章算术注》可以看到,刘徽具有明确的极限思想.他把极限用于代数和几何研究,取得重要成果.这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后,到这时已有较大发展.

  例如,刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上.他说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时,正多边形面积的极限便是圆的面积.他还把割圆术用于求弓形面积.如图4.19,刘徽在弓形内



为弓形面积.显然,用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度.



刘徽在研究开方不尽的问题时,认为求出的位数越多,就越接近真值,但永远不会达到真值,只能根据需耍,求到“虽有所弃之数,不足言之也”的程度.刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的.他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限,并深刻地指出,极限问题“谓以情推,不用筹算”,就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算.
 

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三、刘徽的重差术

重差术是中国古代的一种重要测量方法,用以测量不可到达的距离.刘徽对这一理论进行了总结和提高,写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》).他在序言中说:“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差.”全书只有九道题,但很有代表性.

  例如第一题(译为今文):为测量海岛,立两根3丈高的标杆,前后相距1000步,令后杆与前杆对齐.从前杆后退123步,人眼着地看岛峰,视线正好过杆顶.从后杆后退127步,人眼着地看岛峰,视线也过杆顶.问岛高和岛离杆的距离各是多少?

按题意画图如下:


因当时1步为6尺,故标杆高5步.由刘徽术文,得


若用字母表示,则


因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比,所以叫重差术.这是书中最简单的一题,只须测望二次.其他问题往往要测望三次或四次,但原理与本题相同.刘徽曾著《重差图》和《重差注》,可能是用来推导术文的,已佚.估计刘徽的推导方法不外两种,一是利用出入相补,二是利用相似三角形.

  如果用三角知识去解重差问题,结果也是一样的.中国传统数学无三角,重差术便起着与西方平面三角类似的作用,这是中国数学的特色之一.
 

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 赵爽是三国时代吴国数学家.他与刘徽一南一北,各自独立地进行数学研究,刘注《九章算术》而赵注《周髀算经》.虽然《周髀算经注》没有《九章算术注》那样精采,但其中也有不少独到见解.尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文,是数学史上的珍贵文献.文中给出勾股定理的证明,并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题.令人惊讶的是,这样丰富的内容,竟包含在仅五百余字的论文中,可见语言之精炼.下面便根据赵爽的弦图及注文,介绍他证明勾股定理的方法.



 弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图4.21),其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称朱实、黄实.因为勾×股=2朱实,所以2×勾×股=4朱实,又因为(股-勾)的平方=黄实,所以

  2×勾×股+(股-勾)的平方=4朱实+黄实=弦实.

  化简,得 勾的平方+股的平方=弦的平方.

  另外,赵爽在《周髀算经注》中还给出并证明了日高术,构思十分巧妙.其术为:在地面上立两根高为h的表(标杆)AB和CD,它们之间距离为d,太阳照表,得影长a1,a2,则
 

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由出入相补原理,得


□HC=□CN,□GC=□AN(□表矩形面积).

  相减,得

  □HJ=□CB,

  ∴(a1-a2)×HI=dh,




赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响,只是由于日高术假定大地是平面,所以不可能得到日高的正确数值.
 

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 祖冲之(429---500),河北人,后迁居江南,生活于南朝的宋、齐之间.父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官.祖冲之自幼好学,尤喜历、算.青年时曾任南徐州(今镇江)从事史,后来回建康(今南京)任公府参军.他的行政事务虽多,仍利用工余时间进行大量科学研究.他对前代历法进行仔细的分析比较,对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久,在此基础上于大明六年(462)完成《大明历》,书中首次应用了岁差理论,是当时中国最先进的历法.但他把该历呈送朝廷后,由于保守势力的阻挠,未能及时推行.大明八年(464)后,祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令,刘宋末年再度被调回建康,任谒者仆射(一种司礼节的官).齐灭宋后又在齐为官,晚年升到长水校尉,享受四品奉禄.曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等,远近驰名.数学方面,他曾给《九章算术》作注,并与其子祖暅共同完成数学史上的名著---《缀术》(已佚).

祖暅曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职.他多次向朝廷建议修改历法,采用他父亲的《大明历》,经太史令实测天象、考验新旧历法后,政府终于在天监九年(510)采用了《大明历》.天监十三年(514),祖暅奉命在淮河上指挥修筑浮山堰,因被洪水冲毁而获罪入狱.他出狱后不久,在南朝边境被北魏军队俘获,软禁于元延明家,在那里遇到北魏天文学家信都芳,两人常在一起讨论天文和数学.梁普通七年(526),祖暅南还.他除了和父亲共同完成《缀术》外,还自著《天文录》、《权衡记》等,已失传.

2.祖冲之的圆周率

  继刘徽之后,祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《隋书》记载,他已算得

3.1415926<π<3.1415927.



祖率和密率,都是当时世界上的最好结果.祖率已精确到七位小数,保持世界纪录近千年.至于密率,堪称数学史上的奇迹.它的特点是既都是准确的.比密率更接近π的分数,其分母比113大得多.可以证明,


祖冲之是怎样求圆周率的?这个问题至今还是个谜.因为他的数学著作《缀术》已失传,《隋书》中则只有结论而无求法.据一些史料推测,他可能继承了刘徽的割圆术,通过增加圆内接正多边形的边数来求得更精确的圆周率值.实际上,只要用割圆术求得圆内接正24576(即3×213)边形面积,就可以得到祖率.祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π,这种思想可能也受到刘徽的影响.
 
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